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                    2. 复变函数与积分变换课堂PPT第二章

                      来源:互联网 由 儒雅的速8 贡献 责任编辑:王小亮  

                      第二章

                      解析函数

                      §1 解析函数的概念 §2 函数解析的充要条件 §3 初等函数

                      \f§1 解析函数的概念

                      1.复变函数的导数与微分 2.解析函数的概念

                      \f1. 复变函数的导数与微分

                      i ) 导数的定义 定义 设函数 w=f (z)定义于区域D, z0为D中一点, 点 不出D的范围。如果极限

                      存在, 则就说 f (z)在z0可导, 此极限值就称为 f (z)在 z0

                      的导数, 记作

                      \f也就是说, 对于任给的

                      , 存在

                      , 使得当

                      时, 有

                      应当注意, 定义中

                      (即

                      )的方式是 的方式

                      ?#25105;?#30340;, 定义中极限值存在的要求与

                      无关, 也就是说, 当

                      时, 比值

                      在区域D内以任何方式趋于z0

                      ?#35760;?#20110;同一个数。

                      若 f (z)在D内处处可导, 就说 f (z)在D内可导。

                      \f例1 求 f (z)=z2 的导数。 [解] 因为

                      所以

                      \f例2 问 f (z)=x + 2yi 是否可导? [解]

                      沿着平行于 x轴的直线趋向于 z,因而 这时极限

                      \f设

                      沿着平行于 x轴的直线趋向于 z,因而

                      这时极限

                      沿着平行于 y轴的直线趋向于 z,因而

                      这时极限

                      所以 f (z)=x + 2yi 的导数不存在。

                      \fii)可导与连续

                      容易证明, 在z0点可导的函数必定在z0点连续。

                      事实上, 由在z0点可导的定义,对于任给的 相应地有一个 , 使得当 时, 有

                      ,

                      \f由?#35828;?p>所以

                      在 连续。

                      iii) 求导法则 与实函数相同, 复变函数也有类似的求导公式与 法则,罗列如下: , 其中c为复常数。

                      , 其中n为正整数。

                      \f, 其中c为复常数。 , 其中n为正整数。 。

                      。 ,其中 ,其中w = f (z)与 反函数的单值函数,且 。 。 是两个互为

                      \fiv) 微分的概念

                      设函数w =f (z)在z0可导, 则有

                      其中

                      小量, 而

                      因此,

                      的高阶无穷 的线性部

                      是函数w=f (z) 的改变量

                      分, 称为函数w = f (z)在点z0的微分, 记作

                      如果函数在z0的微分存在, 则称函数 f (z)在z0可微。

                      \f特别, 当f (z) = z时, 得

                      。于是上式可变为

                      由此可见, 函数w = f (z)在z0可导与在z0可微是等价的。

                      若f (z)在区域D内处处可微, 则称 f (z)在D内可微。

                      \f2. 解析函数的概念

                      定义 如果函数 f (z)在z0及z0的邻域内处处可导, 则称

                      f (z)在z0解析, 若 f (z)在区域D内每一点解析, 则称 f (z)在

                      D内解析, 或称 f (z)是 D内的一个解析函数(全纯函数或 正则函数) 如果 f (z)在 z0不解析, 则称 z0为 f (z)的奇点 由定义可知, 函数在区域内解析与在区域内可导是等 价的。但是, 函数在一点处解析和在一点处可导不等价。 即, 函数在一点处可导, 不一定在该点处解析。函数在一

                      点处解析比在该点处可导的要求要高得多。

                      \f例3 研究函数 的解析性。

                      [解] 由解析函数的定义与前面的例题可知, 在复平面内是解析的,而 处不解析的。下面研究 的解析性。 却是处

                      由于

                      \f如果

                      ,令

                      ,那么当 沿直线

                      时,上式的极限是零。如果

                      趋于 \r

                      浅谈复变函数与积分变换的学习

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