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                    2. 文科高考导数练习题

                      来源:互联网 由 liguoquan是我 贡献 责任编辑:王小亮  

                      导数 高中数学组卷(附参考答案)

                       

                      一.选择题(共22小题)

                      1.(2015?绵阳模拟)设函数f(x)=ax3+3bx(a,b为实数,a<0,b>0),当x∈[0,1]时,有f(x)∈[0,1],则b的最大值是(  )

                       

                      A.

                      B.

                      C.

                      D.

                       

                      2.(2015?红河州一模)若函数f(x)=x3+x2﹣在区间(a,a+5)内存在最小值,则实数a的取值范围是(  )

                       

                      A.

                      [﹣5,0)

                      B.

                      (﹣5,0)

                      C.

                      [﹣3,0)

                      D.

                      (﹣3,0)

                       

                      3.(2015?开封模拟)函数f(x)=lnx+ax存在与直线2x﹣y=0平行的切线,则实数a的取值范围是(  )

                       

                      A.

                      (﹣∞,2]

                      B.

                      (﹣∞,2)

                      C.

                      [0,+∞)

                      D.

                      (2,+∞)

                       

                      4.(2015?泸州模拟)设函数f(x)=ax3+3x,其图象在点(1,f(1))处的切线l与直线x﹣6y﹣7=0垂直,则直线l与坐标轴围成的三?#20999;?#30340;面积为(  )

                       

                      A.

                      1

                      B.

                      3

                      C.

                      9

                      D.

                      12

                       

                      5.(2014?郑州一模)已知曲线的一条切线的斜率为,则切点的横坐标为(  )

                       

                      A.

                      3

                      B.

                      2

                      C.

                      1

                      D.

                       

                      6.(2014?郑州模拟)曲线在点处的切线与坐标轴围成的三?#20999;?#38754;积为(  )

                       

                      A.

                      B.

                      C.

                      D.

                       

                      7.(2014?西藏一模)已知曲线的一条切线的斜率为,则切点的横坐标为(  )

                       

                      A.

                      1

                      B.

                      2

                      C.

                      3

                      D.

                      4

                       

                      8.(2014?广西)曲线y=xex﹣1在点(1,1)处切线的斜?#23454;?#20110;(  )

                       

                      A.

                      2e

                      B.

                      e

                      C.

                      2

                      D.

                      1

                       

                      9.(2014?武汉模拟)若函数f(x)=x2+ax+是增函数,则a的取值范围是(  )

                       

                      A.

                      [﹣1,0]

                      B.

                      [﹣1,∞]

                      C.

                      [0,3]

                      D.

                      [3,+∞]

                       

                      10.(2014?包头一模)已知函数y=x3﹣3x+c的图象与x轴恰有两个公共点,则c=(  )

                       

                      A.

                      ﹣2或2

                      B.

                      ﹣9或3

                      C.

                      ﹣1或1

                      D.

                      ﹣3或1

                       

                      11.(2014?郑州模拟)已知f(x)=x2+2xf′(1),则f′(0)等于(  )

                       

                      A.

                      0

                      B.

                      ﹣4

                      C.

                      ﹣2

                      D.

                      2

                       

                      12.(2014?江西二模)已知函数f(x)=x2+f′(2)(lnx﹣x),则f′(1)=(  )

                       

                      A.

                      1

                      B.

                      2

                      C.

                      3

                      D.

                      4

                       

                      13.(2014?上海二模)已知f(x)=(2x+1)3﹣+3a,若f′(﹣1)=8,则f(﹣1)=(  )

                       

                      A.

                      4

                      B.

                      5

                      C.

                      ﹣2

                      D.

                      ﹣3

                       

                      14.(2014?菏泽一模)已知函数f(x)=x2﹣cosx,则f(0.6),f(0),f(﹣0.5)的大小关系是(  )

                       

                      A.

                      f(0)<f(﹣0.5)<f(0.6)

                      B.

                      f(0)<f(0.6)<f(﹣0.5)

                      C.

                      f(0.6)<f(﹣0.5)<f(0)

                      D.

                      f(﹣0.5)<f(0)<f(0.6)

                       

                      15.(2014?呼伦贝尔一模)若函数f(x)=x3﹣ax2+(a﹣1)x+1在区间(1,4)内为减函数,在区间(6,+∞)为增函数,则实数a的取值范围是(  )

                       

                      A.

                      (﹣∞,2]

                      B.

                      [5,7]

                      C.

                      [4,6]

                      D.

                      (﹣∞,5]∪[7,+∞)

                       

                      16.(2014?福建模拟)函数f(x)=﹣x3+3x2﹣4的单调递增区间是(  )

                       

                      A.

                      (﹣∞,0)

                      B.

                      (﹣2,0)

                      C.

                      (0,2)

                      D.

                      (2,+∞)

                       

                      17.(2014?佛山二模)已知函数f(x)=x2﹣cosx,x∈R,则(  )

                       

                      A.

                      f()>f(1)>f(﹣

                      B.

                      f(1)>f()>f(﹣

                      C.

                      f(﹣)>f(1)>f(

                      D.

                      f()>f(﹣)>f(1)

                       

                      18.(2014?江西模拟)已知m是区间[0,4]内任取的一个数,那么函数f(x)=x3﹣2x2+m2x+3在x∈R上是增函数的概率是(  )

                       

                      A.

                      B.

                      C.

                      D.

                       

                      19.(2014?宁德模拟)函数f(x)=x﹣sinx是(  )

                       

                      A.

                      奇函数且单调递增

                      B.

                      奇函数且单调递减

                       

                      C.

                      偶函数且单调递增

                      D.

                      偶函数且单调递减

                       

                      20.(2014?梧州模拟)已知f(x)=﹣x3+ax在(﹣∞,﹣1]上单调递减,则a的取值范围是(  )

                       

                      A.

                      (﹣∞,1]

                      B.

                      [1,+∞)

                      C.

                      (﹣∞,3]

                      D.

                      [3,+∞)

                       

                      21.(2014?揭阳模拟)关于函数f(x)=x3﹣3x+1,下列说法正确的是(  )

                       

                      A.

                      f(x)是奇函数且x=﹣1处取得极小值

                       

                      B.

                      f(x)是奇函数且x=1处取得极小值

                       

                      C.

                      f(x)是非奇非偶函数且x=﹣1处取得极小值

                       

                      D.

                      f(x)是非奇非偶函数且x=1处取得极小值

                       

                      22.(2014?贵州模拟)函数y=ax3+bx2取得极大值?#22270;?#23567;值时的x的值?#30452;?#20026;0和,则(  )

                       

                      A.

                      a﹣2b=0

                      B.

                      2a﹣b=0

                      C.

                      2a+b=0

                      D.

                      a+2b=0

                       

                      二.填空题(共2小题)

                      23.(2015?广东模拟)函数f(x)=xlnx在点(e,f(e))处的切线方程为 _________ .

                       

                      24.(2015?赤峰模拟)已知f(x)=x3﹣3x2+2x+a,若f(x)在R上的极值点?#30452;?#20026;m,n,则m+n= _________ .

                       

                      三.解答题(共6小题)

                      25.(2015?路南区二模)已知函数f(x)=ax2﹣ex(a∈R)

                      (Ⅰ)当a=1时,判断函数f(x)的单调区间并给予证明;

                      (Ⅱ)若f(x)有两个极值点x1,x2(x1<x2),证明:﹣<f(x1)<﹣1.

                       

                      26.(2015?汕尾模拟)已知函数f(x)=x3+bx2+cx的极值点为x=﹣和x=1

                      (1)求b,c的值与f(x)的单调区间

                      (2)当x∈[﹣1,2]时,不等式f(x)<m恒成立,求实数m的取值范围.

                       

                      27.(2015?南昌模拟)函数f(x)=x﹣alnx﹣2.

                      (Ⅰ)求f(x)的单调区间;

                      (Ⅱ)a=1时,不等式f(x)+(b+1)f′(x)<x﹣1对x>1恒成立,求正整数b的取?#23548;?#21512;.

                       

                      28.(2015??#19981;?#19968;模)已知函数f(x)=b+(1﹣2a)x+x2﹣x3.

                      (I)讨论f(x)在其定义域上的单调性;

                      (II)设曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=4x﹣1,求函数f(x)在定义域上的极小值.

                       

                      29.(2015?重庆一模)已知函数

                      (1)当a=0时,求f(x)的极值;

                      (2)若f(x)在区间上是增函数,求实数a的取值范围.

                       

                      30.(2014?广西)函数f(x)=ax3+3x2+3x(a≠0).

                      (Ⅰ)讨论f(x)的单调性;

                      (Ⅱ)若f(x)在区间(1,2)是增函数,求a的取值范围.

                       

                      导数 高中数学组卷

                      参考答案与试题解析

                       

                      一.选择题(共22小题)

                      1.(2015?绵阳模拟)设函数f(x)=ax3+3bx(a,b为实数,a<0,b>0),当x∈[0,1]时,有f(x)∈[0,1],则b的最大值是(  )

                        A. B. C. D.

                      考点: 利用导数求闭区间上函数的最值.菁优网版权所有

                      专题: 计算题.

                      分析: 求导数,利用函数的单调性,结合x∈[0,1]时,有f(x)∈[0,1],即可b的最大值.

                      解答: 解:∵f(x)=ax3+3bx,∴f′(x)=3ax2+3b

                      令f′(x)=0,可得x=

                      ≥1,则f(x)max=f(1)=1,∴b∈(0,];

                      ②0<<1,f(x)max=f()=1,f(1)≥0,∴b∈(].

                      ∴b的最大值是

                      故选:C.

                      点评: 本题考查导数知识的运用,考查函数的值域,考查学生的计算能力,属于中档题.

                       

                      2.(2015?红河州一模)若函数f(x)=x3+x2﹣在区间(a,a+5)内存在最小值,则实数a的取值范围是(  )

                        A. [﹣5,0) B. (﹣5,0) C. [﹣3,0) D. (﹣3,0)

                      考点: 利用导数求闭区间上函数的最值.菁优网版权所有

                      专题: 计算题;作图题;导数的综合应用.

                      分析: 由题意,求导f′(x)=x2+2x=x(x+2)?#33539;?#20989;数的单调性,从而作出函数的简图,由图象求实数a的取值范围.

                      解答: 解?#27827;?#39064;意,f′(x)=x2+2x=x(x+2),

                      故f(x)在(﹣∞,﹣2),(0,+∞)上是增函数,

                      在(﹣2,0)上是减函数,

                      作其图象如右图,

                      x3+x2﹣=﹣得,

                      x=0或x=﹣3;

                      则结合图象可知,

                      解得,a∈[﹣3,0);

                      故选C.

                      点评: 本题考查了导数的综合应用及学生作图识图的能力,属于中档题.

                       

                      3.(2015?开封模拟)函数f(x)=lnx+ax存在与直线2x﹣y=0平行的切线,则实数a的取值范围是(  )

                        A. (﹣∞,2] B. (﹣∞,2) C. [0,+∞) D. (2,+∞)

                      考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程.菁优网版权所有

                      专题: 导数的概念及应用.

                      分析: 问题等价于f′(x)=2在(0,+∞)上有解,分离出参数a,转化为求函数值域问题即可.

                      解答: 解:函数f(x)=lnx+ax存在与直线2x﹣y=0平行的切线,即f′(x)=2在(0,+∞)上有解,

                      而f′(x)=+a,即+a=2在(0,+∞)上有解,a=2﹣,因为x>0,所以2﹣<2,

                      所以a的取值范围是(﹣∞,2).

                      故选B.

                      点评: 本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程问题,注意体会转化思想在本题中的应用.

                       

                      4.(2015?泸州模拟)设函数f(x)=ax3+3x,其图象在点(1,f(1))处的切线l与直线x﹣6y﹣7=0垂直,则直线l与坐标轴围成的三?#20999;?#30340;面积为(  )

                        A. 1 B. 3 C. 9 D. 12

                      考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程.菁优网版权所有

                      专题: 导数的综合应用.

                      分析: 求出原函数的导函数,得到f′(1)=3a+3,由3a+3=﹣6求得a的值,代入原函数解析式,求出f(1),由直线方程的点斜式得到l的方程,求出其在两坐标轴上的截距,由三?#20999;?#30340;面积公式得答案.

                      解答: 解?#27827;蒮(x)=ax3+3x,得

                      f′(x)=3ax2+3,f′(1)=3a+3.

                      ∵函数f(x)=ax3+3x在点(1,f(1))处的切线l与直线x﹣6y﹣7=0垂直,

                      ∴3a+3=﹣6,解得a=﹣3.

                      ∴f(x)=﹣3x3+3x,

                      则f(1)=﹣3+3=0.

                      ∴切线方程为y=﹣6(x﹣1),

                      即6x+y﹣6=0.

                      取x=0,得y=6,取y=0,得x=1.

                      ∴直线l与坐标轴围成的三?#20999;?#30340;面积为

                      故选:B.

                      点评: 本题考查了利用导数研究函数在某点处的切线方程,过曲线上某点处的切线的斜率,就是函数在该点处的导数值,是中档题.

                       

                      5.(2014?郑州一模)已知曲线的一条切线的斜率为,则切点的横坐标为(  )

                        A. 3 B. 2 C. 1 D.

                      考点: 导数的几?#25105;?#20041;.菁优网版权所有

                      分析: 根据斜率,对已知函数求导,解出横坐标,要注意自变量的取值区间.

                      解答: 解:设切点的横坐标为(x0,y0)

                      ∵曲线的一条切线的斜率为

                      ∴y′==,解得x0=3或x0=﹣2(舍去,不符合题意),即切点的横坐标为3

                      故选A.

                      点评: 考查导数的几?#25105;?#20041;,属于基础题,对于一个给定的函数来说,要考虑它的定义域.比如,该题的定义域为{x>0}.

                       

                      6.(2014?郑州模拟)曲线在点处的切线与坐标轴围成的三?#20999;?#38754;积为(  )

                        A. B. C. D.

                      考点: 导数的几?#25105;?#20041;.菁优网版权所有

                      专题: 压轴题.

                      分析: (1)首先利用导数的几?#25105;?#20041;,求出曲线在P(x0,y0)处的切线斜率,进而得到切线方程;(2)利用切线方程与坐标轴直线方程求出交点坐标(3)利用面积公?#35282;?#20986;面积.

                      解答: 解:若y=x3+x,则y′|x=1=2,即曲线在点处的切线方程是,它与坐标轴的交点是(,0),(0,﹣),围成的三?#20999;?#38754;积为,故选A.

                      点评: 函数y=f(x)在x=x0处的导数的几?#25105;?#20041;,就是曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线的斜率,过点P的切线方程为:y﹣y0=f′(x0)(x﹣x0)

                       

                      7.(2014?西藏一模)已知曲线的一条切线的斜率为,则切点的横坐标为(  )

                        A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

                      考点: 导数的几?#25105;?#20041;.菁优网版权所有

                      分析: 利用导数的几?#25105;?#20041;,列出关于斜?#23454;?#31561;式,进而得到切点横坐标.

                      解答: 解:已知曲线的一条切线的斜率为,∵=

                      ∴x=1,则切点的横坐标为1,

                      故选A.

                      点评: 函数y=f(x)在x=x0处的导数的几?#25105;?#20041;,就是曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线的斜率.应熟练掌握斜率与导数的关系.

                       

                      8.(2014?广西)曲线y=xex﹣1在点(1,1)处切线的斜?#23454;?#20110;(  )

                        A. 2e B. e C. 2 D. 1

                      考点: 导数的几?#25105;?#20041;.菁优网版权所有

                      专题: 导数的概念及应用.

                      分析: 求函数的导数,利用导数的几?#25105;?#20041;即?#27733;?#20986;对应的切线斜率.

                      解答: 解:函数的导数为f′(x)=ex﹣1+xex﹣1=(1+x)ex﹣1,

                      当x=1时,f′(1)=2,

                      即曲线y=xex﹣1在点(1,1)处切线的斜率k=f′(1)=2,

                      故选:C.

                      点评: 本题主要考查导数的几?#25105;?#20041;,直接求函数的导数是解决本题的关键,比较基础.

                       

                      9.(2014?武汉模拟)若函数f(x)=x2+ax+是增函数,则a的取值范围是(  )

                        A. [﹣1,0] B. [﹣1,∞] C. [0,3] D. [3,+∞]

                      考点: 利用导数研究函数的单调性.菁优网版权所有

                      专题: 导数的综合应用.

                      分析: 由函数在(,+∞)上是增函数,可得≥0在(,+∞)上恒成立,进而可转化为a≥﹣2x在(,+∞)上恒成立,构造函数求出﹣2x在(,+∞)上的最值,可得a的取值范围.

                      解答: 解:∵在(,+∞)上是增函数

                      ≥0在(,+∞)上恒成立

                      即a≥﹣2x在(,+∞)上恒成立

                      令h(x)=﹣2x,

                      则h′(x)=﹣﹣2

                      当x∈(,+∞)时,h′(x)<0,则h(x)为减函数

                      ∴h(x)<h()=3

                      ∴a≥3

                      故选D

                      点评: 本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性,恒成立问题,是导数的综合应用,难度中档.

                       

                      10.(2014?包头一模)已知函数y=x3﹣3x+c的图象与x轴恰有两个公共点,则c=(  )

                        A. ﹣2或2 B. ﹣9或3 C. ﹣1或1 D. ﹣3或1

                      考点: 利用导数研究函数的极值;函数的零点与方程根的关系.菁优网版权所有

                      专题: 计算题.

                      分析: 求导函数,?#33539;?#20989;数的单调性,?#33539;?#20989;数的极值点,利用函数y=x3﹣3x+c的图象与x轴恰有两个公共点,可得极大值等于0或极小值等于0,由此?#27733;骳的值.

                      解答: 解:求导函数可得y′=3(x+1)(x﹣1)

                      令y′>0,可得x>1或x<﹣1;令y′<0,可得﹣1<x<1;

                      ∴函数在(﹣∞,﹣1),(1,+∞)上单调增,(﹣1,1)上单调减

                      ∴函数在x=﹣1处取得极大值,在x=1处取得极小值

                      ∵函数y=x3﹣3x+c的图象与x轴恰有两个公共点

                      ∴极大值等于0或极小值等于0

                      ∴1﹣3+c=0或﹣1+3+c=0

                      ∴c=﹣2或2

                      故选A.

                      点评: 本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性与极值,解题的关键是利用极大值等于0或极小值等于0.

                       

                      11.(2014?郑州模拟)已知f(x)=x2+2xf′(1),则f′(0)等于(  )

                        A. 0 B. ﹣4 C. ﹣2 D. 2

                      考点: 导数的运算.菁优网版权所有

                      专题: 导数的概念及应用.

                      分析: 把给出的函数求导得其导函数,在导函数解析式中取x=1?#27733;?f′(1)的值.

                      解答: 解?#27827;蒮(x)=x2+2xf′(1),

                      得:f′(x)=2x+2f′(1),

                      取x=1得:f′(1)=2×1+2f′(1),

                      所以,f′(1)=﹣2.

                      故f′(0)=2f′(1)=﹣4,

                      故答案为:B.

                      点评: 本题考查了导数运算,解答此题的关键是理解原函数解析式中的f′(1),在这里f′(1)只是一个常数,此题是基础题.

                       

                      12.(2014?江西二模)已知函数f(x)=x2+f′(2)(lnx﹣x),则f′(1)=(  )

                        A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

                      考点: 导数的运算.菁优网版权所有

                      专题: 导数的概念及应用.

                      分析: f′(2)是一个常数,对函数f(x)求导,能直接求出f′(1)的值.

                      解答: 解:∵f(x)=x2+f′(2)(lnx﹣x),

                      ∴f′(x)=2x+f′(2)(﹣1);

                      ∴f′(1)=2×1+f′(2)×(1﹣1)=2.

                      故选:B.

                      点评: 本题考查了利用求导法则求函数的导函数问题,解题时应知f′(2)是一个常数,根据求导法则进行计算即可,是基础题.

                       

                      13.(2014?上海二模)已知f(x)=(2x+1)3﹣+3a,若f′(﹣1)=8,则f(﹣1)=(  )

                        A. 4 B. 5 C. ﹣2 D. ﹣3

                      考点: 导数的加法与减法法则.菁优网版权所有

                      专题: 计算题.

                      分析: 先求出函数的导数,再把x=﹣1代入 f′(x)的解析式得到f'(﹣1),再由f'(﹣1)=8,求得a的值,即可得到函数f(x)的解析式,从而求得f(﹣1)的值.

                      解答: 解:已知

                      ∴f′(x)=3(2x+1)2×2+

                      ∵f'(﹣1)=8,

                      ∴3×2+2a=8,故有a=1,

                      =

                      ∴f(﹣1)=﹣1+2+3=4,

                      故选A.

                      点评: 本题主要考查函数在某一点的导数的定义,求一个函数的导数的方法,属于基础题.

                       

                      14.(2014?菏泽一模)已知函数f(x)=x2﹣cosx,则f(0.6),f(0),f(﹣0.5)的大小关系是(  )

                        A. f(0)<f(﹣0.5)<f(0.6) B. f(0)<f(0.6)<f(﹣0.5) C. f(0.6)<f(﹣0.5)<f(0) D. f(﹣0.5)<f(0)<f(0.6)

                      考点: 利用导数研究函数的单调性;奇偶性与单调性的综合.菁优网版权所有

                      专题: 导数的综合应用.

                      分析: 由f(x)=x2﹣cosx为偶函数,得f(﹣0.5)=f(0.5),只须比较f(0.6),f(0),f(﹣0.5)的大小关?#23548;?#21487;.

                      解答: 解:∵f(﹣x)=(﹣x)2﹣cos(﹣x)=x2﹣cosx=f(x),

                      ∴f(x)是偶函数;

                      ∴f(﹣0.5)=f(0.5);

                      又∵f′(x)=2x+sinx,

                      当x∈(0,1)时,f′(x)>0,

                      ∴f(x)在(0,1)上是增函数,

                      ∴f(0)<f(0.5)<f(0.6);

                      即f(0)<f(﹣0.5)<f(0.6).

                      故选:A.

                      点评: 本题考查了利用导数判定函数的单调性并比较函数值的大小问题,是基础题.

                       

                      15.(2014?呼伦贝尔一模)若函数f(x)=x3﹣ax2+(a﹣1)x+1在区间(1,4)内为减函数,在区间(6,+∞)为增函数,则实数a的取值范围是(  )

                        A. (﹣∞,2] B. [5,7] C. [4,6] D. (﹣∞,5]∪[7,+∞)

                      考点: 利用导数研究函数的单调性.菁优网版权所有

                      专题: 导数的综合应用.

                      分析: 求出原函数的导函数,求得导函数的零点1,a﹣1,然后分1与a﹣1的大小分析导函数在不同区间内的符号,从而得到原函数在不同区间内的单调性,最后借助于已知条件得到a﹣1与4和6的关系,则答案?#27733;螅?p>解答: 解?#27827;?#20989;数

                      得f′(x)=x2﹣ax+a﹣1.

                      令f′(x)=0,解得x=1或x=a﹣1.

                      当a﹣1≤1,即a≤2时,f′(x)在(1,+∞)上大于0,函数f(x)在(1,+∞)上为增函数,不合题意;

                      当a﹣1>1,即a>2时,f′(x)在(﹣∞,1)上大于0,函数f(x)在(﹣∞,1)上为增函数,

                      f′(x)在(1,a﹣1)内小于0,函数f(x)在(1,a﹣1)内为减函数,f′(x)在(a﹣1,+∞)内大于0,

                      函数f(x)在(a﹣1,+∞)上为增函数.

                      依题意应有:

                      当x∈(1,4)时,f′(x)<0,

                      当x∈(6,+∞)时,f′(x)>0.

                      ∴4≤a﹣1≤6,解得5≤a≤7.

                      ∴a的取值范围是[5,7].

                      故选:B.

                      点评: 本题考查了利用导数研究函数的单调性,考查了分类讨论的数学思想方法,采用了逆向思维方法,解答的关键是对端点值的取舍,是中档题.

                       

                      16.(2014?福建模拟)函数f(x)=﹣x3+3x2﹣4的单调递增区间是(  )

                        A. (﹣∞,0) B. (﹣2,0) C. (0,2) D. (2,+∞)

                      考点: 利用导数研究函数的单调性.菁优网版权所有

                      专题: 导数的概念及应用.

                      分析: 利用导数求解,由f′(x)>0得,0<x<2.

                      解答: 解:∵f′(x)=﹣3x2+6x=﹣3x(x﹣2)

                      ∴由f′(x)>0得,0<x<2.

                      ∴f(x)的递增区间是(0,2).

                      故选C.

                      点评: 本题主要考查利用导数求函数的单调区间的方法,属基础题.

                       

                      17.(2014?佛山二模)已知函数f(x)=x2﹣cosx,x∈R,则(  )

                        A. f()>f(1)>f(﹣) B. f(1)>f()>f(﹣) C. f(﹣)>f(1)>f() D. f()>f(﹣)>f(1)

                      考点: 利用导数研究函数的单调性.菁优网版权所有

                      专题: 导数的概念及应用.

                      分析: 由f(x)=x2﹣cosx得,f(x)为偶函数且在(0,)上是增函数,利用函数单调性及奇偶性的性?#23454;?#20986;结论.

                      解答: 解:∵f′(x)=2x+sinx,

                      ∴当x∈(0,)时,f′(x)=2x+sinx>0,

                      ∴函数f(x)=x2﹣cosx在(0,)上是增函数,

                      又函数f(x)=x2﹣cosx,在R上是偶函数,故f(﹣)=f(),

                      >1>

                      ∴f()>f(1)>f(﹣

                      故选A.

                      点评: 考查学生利用函数的奇偶性、单调性比较大小的方法,关键是转化到同一单调区间上,利用单调性比较大小,属基础题.

                       

                      18.(2014?江西模拟)已知m是区间[0,4]内任取的一个数,那么函数f(x)=x3﹣2x2+m2x+3在x∈R上是增函数的概率是(  )

                        A. B. C. D.

                      考点: 利用导数研究函数的单调性;几何概型.菁优网版权所有

                      专题: 导数的综合应用.

                      分析: 根据f(x)在x∈R上是增函数,得到f′(x)=x2﹣4x+m2≥0恒成立,求出a的范围,利用几何概型的概率公式即可的得到结论.

                      解答: 解:∵f′(x)=x2﹣4x+m2,

                      f(x)=x3﹣2x2+m2x+3在x∈R上是增函数

                      ∴f′(x)=x2﹣4x+m2≥0恒成立

                      ∴△=16﹣4m2≤0

                      解得m≥2或m≤﹣2

                      又∵m是区间[0,4]内任取的一个数

                      ∴2≤m≤4

                      由几何概型概率公式得

                      函数f(x)=x3﹣2x2+m2x+3在x∈R上是增函数的概率P=

                      故选C

                      点评: 本题主要考查几何概型的概?#23454;?#35745;算,利用导数求出函数递增时对应a的取值范围是解决本题的关键.

                       

                      19.(2014?宁德模拟)函数f(x)=x﹣sinx是(  )

                        A. 奇函数且单调递增 B. 奇函数且单调递减

                        C. 偶函数且单调递增 D. 偶函数且单调递减

                      考点: 利用导数研究函数的单调性;函数奇偶性的判断.菁优网版权所有

                      专题: 函数的性质及应用.

                      分析: 由定义域关于原点对称,且f(﹣x)=﹣f(x)得奇函数,通过求导数大于0得单调性.

                      解答: 解:∵函数的定义域为R,

                      f(﹣x)=﹣x﹣sin(﹣x)=﹣(x﹣sinx)=﹣f(x),

                      ∴函数f(x)是奇函数.

                      又f′(x)=1﹣cosx≥0,

                      ∴函数f(x)=x﹣sinx在R上是单调递增函数.

                      故答案选:A.

                      点评: 本题考察了函数的单调性,奇偶性,是一道基础题.

                       

                      20.(2014?梧州模拟)已知f(x)=﹣x3+ax在(﹣∞,﹣1]上单调递减,则a的取值范围是(  )

                        A. (﹣∞,1] B. [1,+∞) C. (﹣∞,3] D. [3,+∞)

                      考点: 利用导数研究函数的单调性.菁优网版权所有

                      专题: 导数的综合应用.

                      分析: 利用导数与函数单调性的关系,即?#27733;?#24471;结论.

                      解答: 解:∵f(x)=﹣x3+ax在(﹣∞,﹣1]上单调递减,

                      ∴f′(x)=﹣3x2+a≤0,a≤3x2在(﹣∞,﹣1]上恒成立,

                      ∴a≤3.

                      故选:C.

                      点评: 本题主要考查学生利用导数判断函数单调性的方法,属基础题.

                       

                      21.(2014?揭阳模拟)关于函数f(x)=x3﹣3x+1,下列说法正确的是(  )

                        A. f(x)是奇函数且x=﹣1处取得极小值

                        B. f(x)是奇函数且x=1处取得极小值

                        C. f(x)是非奇非偶函数且x=﹣1处取得极小值

                        D. f(x)是非奇非偶函数且x=1处取得极小值

                      考点: 函数在某点取得极值的条件.菁优网版权所有

                      专题: 导数的综合应用.

                      分析: 根据函数的奇偶性和导数?#22270;?#20540;之间的关?#23548;?#21487;得到结论.

                      解答: 解:∵f(x)=x3﹣3x+1,

                      ∴f(﹣x)=﹣x3+3x+1≠f(x),且f(﹣x)≠﹣f(x),

                      即f(x)是非奇非偶函数,

                      f′(x)=3x2﹣3=3(x2﹣1),

                      由f′(x)=3(x2﹣1)>0,解得x>1或x<﹣1,

                      f′(x)=3(x2﹣1)<0,解得﹣1<x<1,

                      即函数在x=1处取得极小值,在x=﹣1处取得极大值,

                      故选:D.

                      点评: 本题主要考查函数奇偶性的判定,以及利用导数判定函数的极值问题,考查学生的计算能力.

                       

                      22.(2014?贵州模拟)函数y=ax3+bx2取得极大值?#22270;?#23567;值时的x的值?#30452;?#20026;0和,则(  )

                        A. a﹣2b=0 B. 2a﹣b=0 C. 2a+b=0 D. a+2b=0

                      考点: 函数在某点取得极值的条件.菁优网版权所有

                      专题: 导数的综合应用.

                      分析: 由函数极值的性质可知,极值点处的导数为零,且左右两侧导数异号,据此可以列出关于a,b的方程(组),再进行判断.

                      解答: 解:设f(x)=ax3+bx2(a≠0),

                      则f′(x)=3ax2+2bx,

                      由已知得 且a>0,即

                      化简得a+2b=0.

                      故选D

                      点评: 可导函数在其极值点处的导数为零,且左右两侧的导数值异号,有些学生会忽视导数异号这一条件.在解答题中,在利用导数为零列方程求出待定字母的值后,一般会对极值点异侧的导数异号这一条件进行验证.

                       

                      二.填空题(共2小题)

                      23.(2015?广东模拟)函数f(x)=xlnx在点(e,f(e))处的切线方程为 2x﹣y﹣e=0 .

                      考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程.菁优网版权所有

                      专题: 导数的综合应用.

                      分析: 求出原函数的导函数,得到函数在x=e时的导数值,然后由直线方程的点斜式得答案.

                      解答: 解?#27827;蒮(x)=xlnx,得f′(x)=lnx+1,

                      则f′(e)=lne+1=2,

                      又f(e)=e,

                      ∴函数f(x)=xlnx在点(e,f(e))处的切线方程为y﹣e=2(x﹣e),

                      即2x﹣y﹣e=0.

                      故答案为:2x﹣y﹣e=0.

                      点评: 本题考查了利用导数研究过曲线上某点的切线方程,过曲线上某点的切线的斜率,就是函数在该点处的导数值,是基础题.

                       

                      24.(2015?赤峰模拟)已知f(x)=x3﹣3x2+2x+a,若f(x)在R上的极值点?#30452;?#20026;m,n,则m+n= 2 .

                      考点: 利用导数研究函数的极值.菁优网版权所有

                      专题: 计算题;导数的综合应用.

                      分析: 求出函数的导数,由极值的定义,结合韦达定理,即可得到m+n.

                      解答: 解:f(x)=x3﹣3x2+2x+a的导数为

                      f′(x)=3x2﹣6x+2,

                      由f(x)在R上的极值点?#30452;?#20026;m,n,

                      则有m,n是方程3x2﹣6x+2=0的两个根,

                      由韦达定理,可得,m+n=﹣=2.

                      故答案为:2.

                      点评: 本题考查导数的运用:求极值,考查韦达定理的运用,考查运算能力,属于基础题.

                       

                      三.解答题(共6小题)

                      25.(2015?路南区二模)已知函数f(x)=ax2﹣ex(a∈R)

                      (Ⅰ)当a=1时,判断函数f(x)的单调区间并给予证明;

                      (Ⅱ)若f(x)有两个极值点x1,x2(x1<x2),证明:﹣<f(x1)<﹣1.

                      考点: 利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函数的极值.菁优网版权所有

                      专题: 导数的综合应用.

                      分析: (Ⅰ)a=1时,f(x)=x2﹣ex,f′(x)=2x﹣ex,f″(x)=2﹣ex,利用导数研?#31185;?#21333;调性可得当x=ln2时,函数f′(x)取得最大值,f′(ln2)=2ln2﹣2<0,即可得出.

                      (II)f(x)有两个极值点x1,x2(x1<x2),可得f′(x)=2ax﹣ex=0有两个实根x1,x2(x1<x2),由f″(x)=2a﹣ex=0,得x=ln2a.f′(ln2a)=2aln2a﹣2a>0,得ln2a>1,解得2a>e.又f′(0)=﹣1<0,f′(1)=2a﹣e>0,可得0<x1<1<ln2a,进而得出.

                      解答: (Ⅰ)解:a=1时,f(x)=x2﹣ex,

                      f′(x)=2x﹣ex,f″(x)=2﹣ex,

                      令f″(x)>0,解得x<ln2,此时函数f′(x)单调递增;令f″(x)<0,解得x>ln2,此时函数f′(x)单调递减.

                      ∴当x=ln2时,函数f′(x)取得最大值,f′(ln2)=2ln2﹣2<0,

                      ∴函数f(x)在R上单调递减.

                      (Ⅱ)证明:f(x)有两个极值点x1,x2(x1<x2),∴f′(x)=2ax﹣ex=0有两个实根x1,x2(x1<x2),

                      由f″(x)=2a﹣ex=0,得x=ln2a.

                      f′(ln2a)=2aln2a﹣2a>0,得ln2a>1,解得2a>e.

                      又f′(0)=﹣1<0,f′(1)=2a﹣e>0,

                      ∴0<x1<1<ln2a,

                      由f′(x1)==0,可得

                      f(x1)===(0<x1<1).

                      ∴可知:x1是f(x)的极小值点,

                      <f(x1)<f(0)=﹣1.

                      点评: 本题考查了利用导数(两次求导)研究函数的单调性极值与最值,考查了?#35780;?#33021;力与计算能力,属于难题.

                       

                      26.(2015?汕尾模拟)已知函数f(x)=x3+bx2+cx的极值点为x=﹣和x=1

                      (1)求b,c的值与f(x)的单调区间

                      (2)当x∈[﹣1,2]时,不等式f(x)<m恒成立,求实数m的取值范围.

                      考点: 利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函数的极值.菁优网版权所有

                      专题: 导数的综合应用.

                      分析: (1)对函数进行求导,令f'(1)=0,f'()=0?#27733;?#20986;b,c的值,再利用导数求出函数单调区间即可.

                      (2)根据函数的单调性求出f(x)在[﹣1,2]上的最大值,继而求出m的范围

                      解答: 解?#28023;?)∵f(x)=x3+bx2+cx,

                      ∴f'(x)=3x2+2bx+c,

                      ∵f(x)的极值点为x=﹣和x=1

                      ∴f'(1)=3+2b+c=0,f'()=b+c=0,

                      解得,b=,c=﹣3

                      ∴f'(x)=(3x+2)(x﹣1),

                      当f'(x)>0时,解得x<﹣,或x>1,

                      当f'(x)<0时,解得﹣<x<1,

                      故函数f(x)的单调递增区间为(﹣∞,﹣)和(1,+∞),单调减区间为(﹣,1),

                      (2)有(1)知f(x)=x3﹣x2﹣2x,x∈[﹣1,2],

                      故函数在[﹣1,﹣)和(1,2]单调递增增,在(﹣,1)单调递减,

                      当x=﹣,函数有极大值,f()=,f(2)=2,

                      所以函数的最大值为2,

                      所以不等式f(x)<m在x∈[﹣1,2]时恒成立,

                      故m>2

                      故实数m的取值范围为(2,+∞)

                      点评: 本题主要考查函数的单调性、极值与导函数之间的关系.属中档题

                       

                      27.(2015?南昌模拟)函数f(x)=x﹣alnx﹣2.

                      (Ⅰ)求f(x)的单调区间;

                      (Ⅱ)a=1时,不等式f(x)+(b+1)f′(x)<x﹣1对x>1恒成立,求正整数b的取?#23548;?#21512;.

                      考点: 利用导数研究函数的单调性;函数恒成立问题.菁优网版权所有

                      专题: 函数的性质及应用.

                      分析: (Ⅰ)求出f′(x)=1﹣=,x∈(0,+∞),再讨论a的取值范围,从而求出其单调区间;

                      (Ⅱ)a=1时,原不等式?(x﹣lnx﹣2)+(b+1)?<x﹣1?b<,构造函数g(x)=(x>1),则g′(x)==

                      由第(1)问知,f(x)=x﹣lnx﹣2在(1,+∞)上递增,而f(3)=1﹣ln3<0,f(4)=2﹣ln4=2(lne﹣ln2)>0,可推出f(x)在(3,4)上有唯一零点x0,f(x0)=x0﹣lnx0﹣2?lnx0=x0﹣2,再由的范围,求出b的值.

                      解答: 解?#28023;á瘢ゝ′(x)=1﹣=,x∈(0,+∞),

                      当a≤0时,f′(x)>0,∴f(x)在(0,+∞),

                      当a>0时,令f′(x)=0,得x=0,

                      x∈(0,a)时,f(x)单调递减,

                      x∈(a,+∞)时,f(x)单调递增;

                      综上:a≤0时,f(x)在(0,+∞)上递增,无减区间,

                      当a>0时,f(x)的单调递减区间为(0,a),单调递增区间为(a,+∞);

                      (Ⅱ)a=1时,f(x)=x﹣lnx﹣2,f′(x)=1﹣=

                      x>1时,原不等式?(x﹣lnx﹣2)+(b+1)?<x﹣1?b<

                      设g(x)=(x>1),则g′(x)==

                      由第(1)问知,f(x)=x﹣lnx﹣2在(1,+∞)上递增,而f(3)=1﹣ln3<0,f(4)=2﹣ln4=2(lne﹣ln2)>0

                      ∴f(x)在(3,4)上有唯一零点x0,f(x0)=x0﹣lnx0﹣2?lnx0=x0﹣2

                      ∴1<x<x0时g′(x)<0,x>x0时g′(x)>0,

                      ∴g(x)在(1,x0)上递减、在(x0,+∞)上递减,

                      则x>1时,g(x)min=g(x0)===x0﹣1,

                      由b<恒成立得b<x0﹣1,又3<x0<4知2<x0﹣1<3,

                      又b是正整数,则b的取?#23548;?#21512;是{1,2}

                      点评: 本小题主要考查函数单调性的应用、导数在最大值、最小值问题中的应用、不等式的解法等基础知识,考查运算求解能力、化归与转化思想.属于中档题.

                       

                      28.(2015??#19981;?#19968;模)已知函数f(x)=b+(1﹣2a)x+x2﹣x3.

                      (I)讨论f(x)在其定义域上的单调性;

                      (II)设曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=4x﹣1,求函数f(x)在定义域上的极小值.

                      考点: 利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点切线方程.菁优网版权所有

                      专题: 计算题;导数的综合应用.

                      分析: (I)求导f′(x)=(1﹣2a)+2x﹣3x2,从而讨论导数的正负以?#33539;?#20989;数的单调性;

                      (II)由曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=4x﹣1知f(1)=4﹣1=3=b+(1﹣2a)+1﹣1,f′(1)=(1﹣2a)+2﹣3=4;从而解出a,b;从而求极小值.

                      解答: 解?#28023;↖)f′(x)=(1﹣2a)+2x﹣3x2,

                      ①当△=4+4×3(1﹣2a)≤0;

                      即a≥时,f′(x)≤0;

                      故f(x)在其定义域上是减函数,

                      ②当△=4+4×3(1﹣2a)>0,即a<时;

                      当x∈(﹣∞,),(,+∞)时,f′(x)<0;

                      当x∈()时,f′(x)>0;

                      故f(x)在(﹣∞,),(,+∞)上为减函数,

                      在()为增函数;

                      (II)∵曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=4x﹣1,

                      ∴f(1)=4﹣1=3=b+(1﹣2a)+1﹣1;

                      f′(1)=(1﹣2a)+2﹣3=4,

                      解得,a=﹣2,b=﹣2;

                      故f(x)=﹣x3+x2+5x﹣2,f′(x)=﹣3(x﹣)(x+1);

                      则f(x)在(﹣∞,﹣1),(,+∞)上为减函数,在(﹣1,)为增函数;

                      故函数f(x)在x=﹣1处有极小值f(﹣1)=﹣5.

                      点评: 本题考查了导数的综合应用及分类讨论的数学思想应用,属于中档题.

                       

                      29.(2015?重庆一模)已知函数

                      (1)当a=0时,求f(x)的极值;

                      (2)若f(x)在区间上是增函数,求实数a的取值范围.

                      考点: 利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性.菁优网版权所有

                      专题: 计算题.

                      分析: (1)因为当函数的导数为0时,函数有极值,所以当a=0时,必须先在定义域中求函数f(x)的导数,让导数等于0,求x的值,得到极值点,在?#26012;?#21028;断极值点两侧导数的正?#28023;?#26681;据所?#26012;恚?#21028;断何时有极值.

                      (2)因为当函数为增函数时,导数大于0,若f(x)在区间上是增函数,则f(x)在区间上恒大于0,所以只需用(1)中所求导数,令导数大于0,再判断所得不等式当a为何值时,在区间上恒大于0即可.

                      解答: 解?#28023;?)函数的定义域为(0,+∞)

                      当a=0时,f(x)=2x﹣lnx,则

                      ∴x,f'(x),f(x)的变化情况如下表

                      x (0,,+∞)

                      f'(x) ﹣ 0 +

                      f(x) 极小值

                      ∴当时,f(x)的极小值为1+ln2,函数无极大值.

                      (2)由已知,得

                      若a=0,由f'(x)>0得,显然不合题意

                      若a≠0∵函数f(x)区间是增函数

                      ∴f'(x)≥0对恒成立,即不等式ax2+2x﹣1≥0对恒成立

                      恒成立 故

                      而当,函数,∴实数a的取值范围为a≥3.

                      点评: 本题考查了利用导数求函数极值以及函数单调性,属于常规题,必须掌握.

                       

                      30.(2014?广西)函数f(x)=ax3+3x2+3x(a≠0).

                      (Ⅰ)讨论f(x)的单调性;

                      (Ⅱ)若f(x)在区间(1,2)是增函数,求a的取值范围.

                      考点: 利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函数的极值.菁优网版权所有

                      专题: 导数的综合应用.

                      分析: (Ⅰ)求出函数的导数,通过导数为0,利用二次函数的根,通过a的范围讨论f(x)的单调性;

                      (Ⅱ)当a>0,x>0时,f(x)在区间(1,2)是增函数,当a<0时,f(x)在区间(1,2)是增函数,推出f′(1)≥0且f′(2)≥0,即?#27733;骯的取值范围.

                      解答: 解?#28023;á瘢?#20989;数f(x)=ax3+3x2+3x,∴f′(x)=3ax2+6x+3,

                      令f′(x)=0,即3ax2+6x+3=0,则△=36(1﹣a)

                      ①若a≥1时,则△≤0,f′(x)≥0,∴f(x)在R上是增函数;

                      ②因为a≠0,∴当a≤1,△>0,f′(x)=0方程有两个根,x1=,x2=

                      当0<a<1时,则当x∈(﹣∞,x2)或(x1,+∞)时,f′(x)>0,故函数在(﹣∞,x2)或(x1,+∞)是增函数;在(x2,x1)是减函数;

                      当a<0时,则当x∈(﹣∞,x1)或(x2,+∞),f′(x)<0,故函数在(﹣∞,x1)或(x2,+∞)是减函数;在(x1,x2)是增函数;

                      (Ⅱ)当a>0,x>0时,f′(x)=3ax2+6x+3>0 故a>0时,f(x)在区间(1,2)是增函数,

                      当a<0时,f(x)在区间(1,2)是增函数,

                      当且仅当:f′(1)≥0且f′(2)≥0,解得﹣

                      a的取值范围[)∪(0,+∞).

                      点评: 本题考查函数的导数的应用,判断函数的单调性以及已知单调性求解函数中的变量的范围,考查分类讨论思想的应用.

                       

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                      三肖中特期期难黄大仙
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