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                    2. 复变函数与积分变换第一章

                      来源:互联网 由 儒雅的速8 贡献 责任编辑:李志  

                      复变函数与积分变换

                      主讲教师:雷春林 电话:642122

                      邮箱:[email protected]

                      \f总评成绩如何计算

                      1. 期末总评成绩为百分制。 2. 平时成绩占50%,根据作业、课堂出勤等 情况由任课老师给分。 3. 期末考试成绩占50%。期末考试试卷由本 课程组老师共同批改。

                      \f作业的要求 作业:每周交一次,每个班每次按1-10,11-20, 21-40号轮流交。学习委员收齐并按学号排序, 每周二课前交给我。不收迟交的作业,每人准 备两个薄一点的作业本。

                      \f背

                      复数是十六世纪人们在解代数方程时引进的。 为使负数开方有意义,需要再一次扩大数系,使实 数域扩大到复数域。但在十八世纪以前,由于对复 数的概念及性质了解得不清楚,用它们进行计算又 得到一些矛盾,所以,在历史上长时期人?#21069;?#22797;数 看作不能?#37038;?#30340;“虚数?#34180;?#30452;到十八世纪, J.D’Alembert(1717-1783)与L.Euler(1707-1783)等 人逐?#35762;?#26126;了复数的?#36127;我?#20041;和物理意义,并且应 用复数和复变函数研究了流体力学等方面的一些问 题。复数才被人们广泛承认?#37038;埽?#22797;变函数论才能 顺利建立和发展。

                      \f复变函数的理论基础是十九世纪奠定的。 A.L.Cauchy (1789-1866)和K.Weierstrass(18151897)分别应用积分和级数研究复变函数, G.F.B.Riemann (1826-1866)研究复变函数的映照性 质。他们是这一时期的三位代表人物。经过他们的 巨大努力,复变函数形成了非常系统的理论,且渗 透到了数学的许多分支,同时,它在热力学,流体 力学和电学等方面也得到了很多的应用。 二十世纪以来,复变函数已被广泛地应用在理 论物理、弹性理论和天体力学等方面,与数学中其 它分支的联系也日益密?#23567;?p>

                      \f第一节

                      复数及其代数运算

                      一、复数的概念 二、复数的代数运算

                      三、小结与思考

                      \f一、复数的概念

                      1. 虚数单位:

                      ?#36947;?: 方程 x 2 ? ?1在实数集中无解 .

                      为了解方程的需要, 引入一个新数 i , 称为虚数单位.

                      对虚数单位的规定:

                      (1) i 2 ? ?1;

                      ( 2) i 可以与实数在一起按同 样的法则进行 四则运算.

                      7

                      \f虚数单位的特性:

                      i 1 ? i;

                      4 2 2

                      i 2 ? ?1;

                      i 3 ? i ? i 2 ? ? i; i 5 ? i 4 ? i 1 ? i; i 7 ? i 4 ? i 3 ? ? i;

                      ……

                      i ? i ? i ? 1; i 6 ? i 4 ? i 2 ? ?1;

                      i 8 ? i 4 ? i 4 ? 1;

                      一般地,如果n是正整数, 则

                      i 4 n ? 1, i 4 n ?1 ? i , i 4 n? 2 ? ?1,

                      i 4 n? 3 ? ? i .

                      8

                      \f2.复数:

                      对于?#25105;?#20004;实数 x , y , 我们称 z ? x ? yi 或 z ? x ? iy 为复数.

                      其中 x , y 分别称为 z 的实部和虚部, 记作 x ? Re( z ), y ? Im( z ).

                      当 x ? 0 时, z ? iy 称为纯虚数;

                      当 y ? 0 时, z ? x ? 0i , 我?#21069;?#23427;看作实数 x .

                      9

                      \f2 ( m ? 3m ? 4) ? 例1 实数m取何值时, 复数

                      (m 2 ? 5m ? 6)i 是(1)\r

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