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                    2. (全国通用版)2019版高考数学一轮复习 第六章 数列 课时达标检测(二十八)等比数列及其前n项和 文 doc

                      来源:互联网 由 wuyoujun92 贡献 责任编辑:鲁倩  
                      (全国通用版)2019版高考数学一轮复习 第六章 数列 课时达标检

                      测(二十八)等比数列及其前n 项和 文

                      对点练(一) 等比数列基本量的计算

                      1.(2018·福建漳州八校联考)等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 3=2,S 6=18,则S 10

                      S 5

                      =( )

                      A .-3

                      B .5

                      C .-31

                      D .33

                      解析:选D 设等比数列{a n }的公比为q ,则由已知得q ≠1.∵S 3=2,S 6=18,∴1-q

                      3

                      1-q 6=

                      218,得q 3=8,∴q =2.∴S 10S 5=1-q 10

                      1-q

                      5=1+q 5=33,故选D. 2.(2018·广东深圳一模)已知等比数列{a n }的前n 项和S n =a ·3n -1

                      +b ,则a

                      b

                      =( )

                      A .-3

                      B .-1

                      C .1

                      D .3

                      解析:选A ∵等比数列{a n }的前n 项和S n =a ·3n -1

                      +b ,

                      ∴a 1=S 1=a +b ,a 2=S 2-S 1=3a +b -a -b =2a ,

                      a 3=S 3-S 2=9a +

                      -b =6a ,∵等比数列{a n }中,a 22=a 1a 3,∴(2a )2

                      =(a +b )×6a ,

                      解得a b

                      =-3.故选A.

                      3.(2018·湖北华师一附中联考)在等比数列{a n }中,a 2a 3a 4=8,a 7=8,则a 1=( ) A .1 B .±1 C .2

                      D .±2

                      解析:选A 因为数列{a n }是等比数列,所以a 2a 3a 4=a 3

                      3=8,所以a 3=2,所以a 7=a 3q 4

                      =2q 4

                      =8,所以q 2

                      =2,a 1=a 3q

                      2=1,故选A.

                      4.(2018·广西南宁三校联考)已知在等比数列{a n }中,a 3=2,a 4a 6=16,则a 9-a 11

                      a 5-a 7

                      =( )

                      A .2

                      B .4

                      C .8

                      D .16

                      解析:选B 因为数列{a n }是等比数列,a 3=2,所以a 4a 6=a 3q ·a 3q 3

                      =4q 4

                      =16,所以q

                      2

                      =2.所以a 9-a 11a 5-a 7=a 3q 6-a 3q 8a 3q 2-a 3q 4=

                      q 23-q 2

                      4

                      q 2-q 22

                      =q 4

                      =4.故选B.

                      5.(2018·辽宁盘锦高中月考)已知{a n }是首项为1的等比数列,S n 是{a n }的前n 项和,

                      且9S 3=S 6,则数列????

                      ??

                      1a n 的前5项和为( )

                      A.15

                      8或5 B .31

                      16或5 C.

                      3116

                      D .158

                      解析:选C 若q =1,则由9S 3=S 6,得9×3a 1=6a 1,则a 1=0,不满足题意,故q ≠1.由9S 3=S 6,得9×

                      a 1

                      -q 3

                      1-q

                      =

                      a 1

                      -q 6

                      1-q

                      ,解得q =2.故a n =a 1q

                      n -1

                      =2

                      n -1

                      ,1a n =? ??

                      ??12n -1

                      .所以数列??????1a n 是以1为首项,以12为公比的等比数列,所以数列????

                      ??1a n 的前5项和为

                      T 5=

                      1×?????

                      ?1-? ????1251-12

                      =31

                      16.故选C. 6.(2018·?#19981;?#27744;州模拟)在?#23545;?#21024;算法统宗》中有这样一则故事:“三百七十八里关,初行健步不为难;次日脚痛减一半,六朝才得到其关.”意思是某人要走三百七十八里的路程,第一天脚步轻快有力,走了一段路程,第二天脚痛,走的路程是第一天的一半,以后每天走的路程都是前一天的一半,走了六天才走完这段路程.则下列说法错误的是( )

                      A .此人第二天走了九十六里路

                      B .此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里

                      C .此人第三天走的路程占全程的1

                      8

                      D .此人后三天共走了四十二里路

                      解析:选C 记每天走的路程里数为a n (n =1,2,3,…,6), 由题意知{a n }是公比为1

                      2

                      的等比数列,由S 6=378,得

                      a 1?

                      ??

                      ??

                      1-12

                      61-12

                      =378,解得a 1=192,∴

                      a 2=192×12

                      =96,此人第一天走的路程比后五天走的路程多192-(378-192)=6(里),a 3

                      =192×14=48,48378>1

                      8,前3天走的路程为192+96+48=336(里),则后3天走的路程为378

                      42(里),故选C.

                      对点练(二) 等比数列的性质

                      1.(2018·新余调研)已知等比数列{a n }中,a 2=2,a 6=8,则a 3a 4a 5=( ) A .±64

                      B .64

                      C .32

                      D .16

                      解析:选B 由等比数列的性质可知,a 2a 6=a 2

                      4=16,而a 2,a 4,a 6同号,故a 4=4,所以a 3a 4a 5=a 3

                      4=64.故选B.

                      2.(2018·?#19981;?#30358;江名校联考)已知S n 是各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和,若

                      a 2·a 4=16,S 3=7,则a 8=( )

                      A .32

                      B .64

                      C .128

                      D .256

                      解析:选 C ∵a 2·a 4=a 2

                      3=16,∴a 3=4(负值舍去),∵a 3=a 1q 2

                      =4,S 3=7,∴S 2=

                      a 1

                      -q 2

                      1-q

                      =3,∴3q 2

                      4=0,解得q =-23

                      或q =2,∵a n >0,∴q =2,∴a 1=1,∴a 8

                      =27

                      =128.

                      3.(2018·河北保定一中模拟)若项数为2m (m ∈N *

                      )的等比数列的中间两项正好是方程

                      x 2+px +q =0的两个根,则此数列的各项积是( )

                      A .p m

                      B .p 2m

                      C .q m

                      D .q 2m

                      解析:选C 由题意得a m a m +1=q ,所以由等比数列的性质得此数列各项积为(a m a m +1)m

                      =

                      q m .

                      4.已知等比数列{a n }共有10项,其中奇数项之积为2,偶数项之积为64,则其公比q 为( )

                      A.32 B . 2 C .2

                      D .2 2

                      解析:选 C 由奇数项之积为2,偶数项之积为64,得a 1·a 3·a 5·a 7·a 9=2,

                      a 2·a 4·a 6·a 8·a 10=64,则q 5=a 2·a 4·a 6·a 8·a 10

                      a 1·a 3·a 5·a 7·a 9

                      =32,则q =2,故选C.

                      5.(2018·湖南三湘名校联盟模拟)一个等比数列{a n }的前三项的积为2,最后三项的积为4,且所有项的积为64,则该数列有( )

                      A .13项

                      B .12项

                      C .11项

                      D .10项

                      解析:选B 设首项a 1,共有n 项,公比为q .前三项之积为a 31q 3

                      =2,最后三项之积为

                      a 31q

                      =4,两式相乘得a 61q 3(n -1)=8,即a 21q n -1=2,又a 1·a 1q ·a 1q 2·…·a 1q n -1=64,∴a n

                      1q

                      n n -

                      2

                      =64,则(a 21q

                      n -1)n

                      =642,∴2n =642

                      ,∴n =12,故选B.

                      对点练(三) 等比数列的判定与证明

                      1.在数列{a n }中,“a n =2a n -1,n =2,3,4,…”是“{a n }是公比为2的等比数列”的

                      ( )

                      A .充分不必要条件

                      B .必要不充分条件

                      C .充要条件

                      D .既不充分也不必要条件

                      解析:选B 当a n =0时,也有a n =2a n -1,n =2,3,4,…,但{a n }不是等比数列,因此充?#20013;?#19981;成立;当{a n }是公比为2的等比数列时,有

                      a n

                      a n -1

                      =2,n =2,3,4,…,即a n =2a n -1,n =2,3,4,…,所以必要性成立.故选B.

                      2.(2018·华南师大附中测试)数列{a n }中,a 1=p ,a n +1=qa n +d (n ∈N *

                      ,p ,q ,d 是常数),则d =0是数列{a n }是等比数列的( )

                      A .必要不充分条件

                      B .充分不必要条件

                      C .充要条件

                      D .既不充分也不必要条件

                      解析:选D 当d =0,p =0时,a n =0,数列{a n }不是等比数列,所以充?#20013;?#19981;成立;当q =0,p =d ,d ≠0时,a n =d ,则数列{a n }为公比为1的等比数列,所以必要性不成立.综上所述,d =0是数列{a n }是等比数列的既不充分也不必要条件,故选D.

                      [大题综合练——迁移贯通]

                      1.(2018·湖北黄冈调研)数列{a n }中,a 1=2,a n +1=

                      n +1

                      2n

                      a n (n ∈N *). (1)证明数列????

                      ??a n n 是等比数列,并求数列{a n }的通项公式; (2)设b n =a n

                      4n -a n

                      ,若数列{b n }的前n 项和是T n ,求证:T n <2.

                      解:(1)由题设得a n +1n +1=12·a n n ,又a 11=2,所以数列????

                      ??a n n 是首项为2,公比为1

                      2的等比数列,

                      所以a n n =2×? ??

                      ??12n -1=22-n ,a n =n ·22-n

                      =4n 2n .

                      (2)证明:b n =a n 4n -a n =4n

                      2n 4n -4n 2n

                      =1

                      2n -1

                      ,

                      因为对?#25105;鈔 ∈N *,2n

                      -1≥2

                      n -1

                      ,所以b n ≤

                      12

                      n -1

                      .

                      所以T n ≤1+12+122+123+…+12n -1=2? ??

                      ??1-12n <2. 2.已知数列{a n }满足a 1=5,a 2=5,a n +1=a n +6a n -1(n ≥2). (1)求证:{a n +1+2a n }是等比数列; (2)求数列{a n }的通项公式.

                      解:(1)证明:∵a n +1=a n +6a n -1(n ≥2),

                      ∴a n +1+2a n =3a n +6a n -1=3(a n +2a n -1)(n ≥2). ∵a 1=5,a 2=5,∴a 2+2a 1=15, ∴a n +2a n -1≠0(n ≥2), ∴

                      a n +1+2a n

                      a n +2a n -1

                      =3(n ≥2),

                      ∴数列{a n +1+2a n }是以15为首项,3为公比的等比数列. (2)由(1)得a n +1+2a n =15×3

                      n -1

                      =5×3n

                      ,

                      则a n +1=-2a n +5×3n

                      ,∴a n +1-3n +1

                      =-2(a n -3n

                      ).

                      又∵a 1-3=2,∴a n -3n

                      ≠0,

                      ∴{a n -3n

                      }是以2为首项,-2为公比的等比数列. ∴a n -3n

                      =2×(-2)n -1

                      ,

                      即a n =2×(-2)

                      n -1

                      +3n

                      .

                      3.(2018·云南统测)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1+a 2+a 3=26,S 6=728. (1)求数列{a n }的通项公式; (2)求证:S 2

                      S n S n +2=4×3n

                      .

                      解:(1)设等比数列{a n }的公比为q ,由728≠2×26得,S 6≠2S 3,∴q ≠1.

                      由已知得?

                      ????

                      S 3=

                      a 1

                      -q

                      3

                      1-q

                      =26,

                      S 6

                      =a

                      1

                      -q 6

                      1-q

                      =728,

                      解得???

                      ??

                      a 1=2,q =3.

                      ∴a n =2×3

                      n -1

                      .

                      (2)证明:由(1)可得S n =-3

                      n

                      1-3=3n

                      -1.

                      ∴S n +1=3

                      n +1

                      -1,S n +2=3

                      n +2

                      -1.

                      ∴S 2

                      n +1-S n S n +2=(3n +1

                      -1)2

                      -(3n

                      -1)(3

                      n +2

                      ×3n

                      .

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